Информатика. ЕГЭ

Перейти к заданиям

Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-6565

Просмотры: 40
Изменено: 10 августа 2026

(А. Богданов) Обозначим частное от деления натурального числа \(a\) на натуральное число \(b\) как \(a \, // \, b,\) а остаток как \(a \, \% \, b.\) Алгоритм вычисления функции \(F(n),\) где \(n\) – натуральное число, задан следующими соотношениями:

  • \(F(n) = n \, // \, 3 + n \, \% \, 3,\) если \(n < 9;\)
  • \(F(n) = F(n \, // \, 9) + F(n \, \% \, 9),\) если \(n \geqslant 9.\)

Определите количество значений \(n < 9^9,\) для которых функция \(F(n) = 33.\)

Решение:

Значение функции для чисел, меньших \(9,\) равно

\(n\)12345678
\(F(n)\)12123234

Для произвольного натурального числа значение функции \(F(n)\) будет равно сумме значений этой функции на каждой цифре числа, записанного в девятеричной системе счисления. Например, $$F(1234_9) = F(1) + F(2) + F(3) + F(4) = 1 + 2 + 1 + 2 = 6.$$ В задаче рассматриваются числа, меньшие \(9^9,\) т.е. максимум девятизначные числа в девятеричной системе счисления. Чтобы получить \(33,\) необходимо, чтобы число было как минимум девятизначным в 9-ричной СИ и содержало достаточное количество \(8\) в своей записи. А именно, восьмерок может быть либо \(8,\) либо \(7,\) либо \(6.\) Рассмотрим отдельно каждый случай.

Девятизначное в 9-ричной СИ число содержит \(8\) восьмёрок. Чтобы \(F(n) = 33,\) необходимо, чтобы девятая цифра была либо \(1,\) либо \(3.\) Так как разместить одну цифру на одну из \(9\) позиций можно \(9\)-ю различными способами, получаем, что все таких чисел, удовлетворяющий условию задания, \(18.\)

Девятизначное в 9-ричной СИ число содержит \(7\) восьмёрок. Тогда на оставшиеся две позиции мы должны разместить одну цифру, для которой \(F(n) = 2.\) Таких цифр три — \(2, \, 4, \, 6.\) И одну цифру, для которой \(F(n) = 3.\) Таких цифр две — \(5, \, 7.\) Всего чисел, удовлетворяющих указанным условиям, равно $$3 \cdot 2 \cdot A_9^2 = 432$$

Девятизначное в 9-ричной СИ число содержит \(6\) восьмёрок. На оставшиеся три позиции мы должны тогда поместить цифры, для которых \(F(n) = 3.\) Если все три цифры — это \(5,\) то таких чисел $$C_9^3 = \frac{9!}{3! \, 6!} = 84$$ Столько же чисел будет, если вместо \(5\) взять \(7.\) Наконец, можно взать либо две \(5\) и одну \(7,\) либо, наоборот, одну \(5\) и две \(7.\) В каждом таком случае получаем $$3 \cdot C_9^3 = 168$$ чисел.

Собирая все вместе, получаем окончалено, что чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно $$18 + 432 + 2 \cdot 84 + 2 + \cdot 168 = 1122$$

Ответ: \(1122\)

kege1

kege2

kege3

Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ

Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене

Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
​ Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Расписание пробников Статграда в 2026/27 учебном году
Информатика ОГЭ 9 класс
  1. 13 октября 2026 года
  2. 3 декабря 2026 года
  3. 21 января 2027 года
  4. 19 февраля 2027 года
  5. 23 марта 2027 года
  6. 27 апреля 2027 года
Математика ОГЭ 9 класс
  1. 23 сентября 2026 года
  2. 1 декабря 2026 года
  3. 22 января 2027 года
  4. 3 марта 2027 года
  5. 14 апреля 2027 года
Физика ОГЭ 9 класс
  1. 19 октября 2026 года
  2. 10 декабря 2026 года
  3. 29 января 2027 года
  4. 17 марта 2027 года
  5. 22 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 10 класс
  1. 3 февраля 2027 года
  2. 11 мая 2027 года
Информатика ЕГЭ 11 класс
  1. 22 октября 2026 года
  2. 15 декабря 2026 года
  3. 26 января 2027 года
  4. 2 марта 2027 года
  5. 13 апреля 2027 года
Математика ЕГЭ 11 класс
  1. 30 сентября 2026 года
  2. 17 декабря 2026 года
  3. 9 февраля 2027 года
  4. 16 марта 2027 года
  5. 21 апреля 2027 года
Физика ЕГЭ 11 класс
  1. 14 октября 2026 года
  2. 16 декабря 2026 года
  3. 4 февраля 2027 года
  4. 12 марта 2027 года
  5. 9 апреля 2027 года