Решение:

Алфавит девятеричной системы исчисления состоит из \(9\) цифр: \(0 \ldots 8.\) Поэтому любое десятизначное \(9\)-ричное число содержит в своей записи хотя бы одну повторяющуюся цифру. Максимальное число пар повторяющихся чисел равно \(5.\)

Пусть в записи числа используются \(5\) пар повторяющихся чисел \(a, \, b, \, c, \, d, \, e.\) Всего пять чисел из \(9\) возможных можно выбрать \(C_9^5\) способами. Рассмотрим мультимножество $$\{ a, \, a, \, b, \, b, \, c, \, c, \, d, \, d, \, e, \, e\}$$ Переставить элементы в нём можно $$\frac{10!}{\left( 2! \right)^5}$$ способами. Значит всего десятизначных девятеричных чисел, составленных из пяти пар цифр будет $$C_9^5 \cdot \frac{10!}{\left( 2! \right)^5}$$ штук

Пусть теперь для записи нашего числа используются четыре пары повторяющихся чисел \(a, \, b, \, c, \, d.\) Тогда в записи числа встретятся еще \(2\) неповторяющиеся цифры \(e\) и \(f.\) Выбрать \(4\) цифры из \(9\) можно \(C_9^4\) способами. Из оставшихся \(5\) цифр выбрать \(2\) можно \(C_5^2\) способами. В получившемся мультимножестве $$\{ a, \, a, \, b, \, b, \, c, \, c, \, d, \, d, \, e, \, f\}$$ можно сделать $$\frac{10!}{\left( 2! \right)^4}$$ перестановок. Значит всего десятизначных девятеричных чисел, в записи которых есть четыре пары повторяющихся цифр, будет $$C_9^4 \cdot C_5^2 \frac{10!}{\left( 2! \right)^5}$$ штук.

В общем случае. Пусть в записи нашего числа присутствуют \(k\) пар повторяющихся чисел \((1 \leqslant k \leqslant 5).\) Тогда неповторяющихся чисел в записи числа будет \(2 \cdot (5 - k).\) Выбрать \(k\) цифр из \(9\) можно \(C_9^k\) способами, выбрать \(2 \cdot (5 - k) \) цифр из \(9 - k\) можно \(C_{9 - k}^{2 \cdot (5 - k)}\) способами. Всего десятизначных девятеричных чисел, в записи которого \(k\) цифр повторяются ровно \(2\) раза, остальные цифры по одному разу, будет $$C_9^k \cdot C_{9 - k}^{2 \cdot (5 - k)} \frac{10!}{\left( 2! \right)^k}$$ штук.

Окончательно, всего десятизначных девятеричных чисел, в которых каждая цифра повторяется не более \(2\)-х раз, будет $$S_1 = \sum_{k = 1}^5 C_9^k \cdot C_{9 - k}^{2 \cdot (5 - k)} \frac{10!}{\left( 2! \right)^k}$$

Однако, среди этих чисел есть те, которые начинаются с \(0.\) Посчитаем их количество и вычтем из этой суммы. Здесь надо рассмотреть два варианта: 1) цифра \(0\) повторяется два раза, причём одна из них стоит на первом месте и 2) цифра \(0\) встречается в записи числа только один раз и только на первом первом месте.

Первый случай. В записи числа присутствуют две цифры \(0,\) причём одна из них стоит на первом месте. Рассмотрим девять других, среди которых один \(0.\) Пусть среди оставшихся имеются \(k\) повторяющихся дважды цифры. Понятно, что \(0 \leqslant k \leqslant 4.\) Выбрать эти \(k\) цифр из \(8\) можно \(C_8^k\) способами. Неповторяющися цифр будет \(2 \cdot (4 - k)\) штук, а выбрать их можно \(C_{8 - k}^{2 \cdot (4 - k)}\) способами. Наконец переставить все девять цифр справа (включая \(0)\) можно $$\frac{9!}{\left( 2! \right)^k}$$ способами, а общее число чисел, которые начинаются с \(0,\) в их записи присутствует ещё один \(0,\) а также \(k\) пар повторяющихся чисел от \(1\) до \(8\) будет $$C_8^k \cdot C_{8 - k}^{2 \cdot (4 - k)} \cdot \frac{9!}{\left( 2! \right)^k}$$ штук. Всего, десятизначных девятеричных чисел, которые начинаются с нуля, в записи которых имеется ещё один ноль, будет $$S_2 = \sum_{k = 0}^4 C_8^k \cdot C_{8 - k}^{2 \cdot (4 - k)} \cdot \frac{9!}{\left( 2! \right)^k}$$ штук.

Второй случай. В записи числа присутствует она цифры \(0,\) стоящая на первом месте. Для записи в остальные девять позиций используются \(8\) цифр от \(1\) до \(8,\) причём некоторые могут повторяться дважды. Если \(k\) — число повторяющихся цифр, \((1 \leqslant k \leqslant 4),\) то число неповторяющихся цифр будет \(2 \cdot (4 - k) + 1.\) Рассуждая аналогично тому, как мы это делали для первого случая, получим, что десятизначных девятеричных чисел, которые начинаются с нуля, а остальные числа не ноль, будет $$S_3 = \sum_{k = 1}^4 C_8^k \cdot C_{8 - k}^{2 \cdot (4 - k) + 1} \cdot \frac{9!}{\left( 2! \right)^k}$$ штук.

Ответом задачи будет число $$N = S_1 - S_2 - S_3.$$ Для его подсчёта напишем небольшую программу

Python

from math import comb, factorial

s1 = sum(comb(9, k) * comb(9 - k, 2 * (5 - k)) * factorial(10) // 2**k for k in range(1, 6))
s2 = sum(comb(8, k) * comb(8 - k, 2 * (4 - k)) * factorial(9) // 2**k for k in range(0, 5))
s3 = sum(comb(8, k) * comb(8 - k, 2 * (4 - k) + 1) * factorial(9) // 2**k for k in range(1, 5))

print(s1 - s2 - s3)

Ответ: \(992476800\)