(Д. Бахтиев) Известно, что значение арифметического выражения \(7^{666} + 7^{333} + 49^x - 343\) в \(7\)-ричной системе счисления содержит ровно \(49\) цифр «\(6\)». Для какого наименьшего натурального \(x\) это возможно? В ответе укажите только число.

(Л. Шастин) В некоторых системах счисления, для записи оснований которых используются целочисленные переменные \(p < 37\) и \(s < 35\), выполняется равенство: $$ R4_{p-1} + B0_{s + 2} + T3NK4_p = 23593399_{10} $$ Определите произведение подходящих значений \(p\) и \(s\) и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(Д. Бахтиев) Значение арифметического выражения \(5^{150} + 5^{135} - x\), где \(x\) — целое положительное число, не превышающее \(5555\), записали в \(5\)-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение \(x\), при котором в \(5\)-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно \(134\) цифры \(4\).

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(Л. Шастин) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием \(24\). $$ 12x734_{24} + 8x95x3_{24} + 24x796_{24} $$ В записи чисел переменной \(x\) обозначена неизвестная цифра из алфавита \(24\)-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение \(x\), при котором значение данного арифметического выражения кратно \(23\). Для найденного значения \(x\) вычислите частное от деления значения арифметического выражения на \(23\) и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Значение арифметического выражения \(4^{644} + 4^{322} + 16^{35} - 64^3\) записали в \(4\)-ричной системе счисления. Сколько цифр «\(3\)» содержится в этой записи?