В числах \(F29x8EAD6_{37}\) и \(BAxDE0C1B_{37}\) переменная \(x\) обозначает некоторую цифру из алфавита системы счисления с основанием \(37\). Определите наибольшее значение \(x\), при котором произведение приведённых чисел кратно \(36\). В ответе запишите значение числа \(1x2_{37}\) в десятичной системе счисления.

Л. Шастин) Значение арифметического выражения \(7^{270} + 7^{170} + 7^{70} - x,\) где \(x\) — целое положительное число, не превышающее \(10000,\) записали в \(7\)-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение \(x,\) при котором количество нулей в \(7\)-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения $$ 5 \cdot 729^{2024} + 3 \cdot 243^{1413} - 7 \cdot 81^{169} - 2 \cdot 9^{107} + 3017 $$ записали в системе счисления с основанием \(27.\) Определите сумму чётных цифр с числовым значением, не превышающим \(25,\) в записи этого числа.

(Д. Бахтиев) Два числа записаны в системе счисления с основанием \(15{:}\)

• \(M = 432x3_{15}\)
• \(N = 86x86_{15}\)

В записи чисел переменной \(x\) обозначена неизвестная цифра из алфавита \(15\)-ричной системы счисления. Определите наименьшее натуральное значение \(A,\) при котором найдётся такой \(x,\) что значение выражения \(M + A\) будет кратно \(N.\)

(Л. Шастин) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием \(25.\) $$A4x7F2_{25} + NxG5xH_{25} + 74xM26_{25}$$ В записи чисел переменной \(x\) обозначена цифра из алфавита \(25\)-ричной системы счисленя. Определите наибольшее значение \(x\), при котором значение данного арифметического выражения кратно \(24.\) Для найденного значения \(x\) вычислите частное от деления значения арифметического выражения на \(24\) и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Д. Бахтиев) Известно, что значение арифметического выражения \(7^{666} + 7^{333} + 49^x - 343\) в \(7\)-ричной системе счисления содержит ровно \(49\) цифр «\(6\)». Для какого наименьшего натурального \(x\) это возможно? В ответе укажите только число.