Информатика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(51.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой находится 51 камень или больше. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1\leqslant S \leqslant 50.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение \(S\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
Если найдено несколько значений \(S,\) в ответе запишите наименьшее из них.
19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(81.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах находится \(81\) камень или больше.
В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче — \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 73.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из \(18,\) \(15\) или \(6\) камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(19.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(19\) или меньше камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 20.\)
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(23,\) \(26\) или \(60\) камней.
Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее \(132.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(132\) или более камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 131.\)
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
19
(Д. Бахтиев) Два игрока, Полина и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на \(1\) камень меньше, чем убирается) или убрать из одной из куч пять камней, при этом два камня перекладываются в соседнюю кучу, а оставшиеся три выбрасываются в океан несбывшихся надежд. Например, пусть в одной куче \(10,\) а в другой \(15\) камней; такую позицию мы будем обозначать \((10, 15).\) За один ход из позиции \((10, 15)\) можно получить любую из четырёх позиций: \((5, 17),\) \((12, 10),\) \((10, 7)\) и \((5, 15).\) Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более \(69.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет \(69\) или меньше камней. В начальный момент в первой куче было \(35\) камней, во второй куче — \(S\) камней, \(S > 50.\) Укажите максимальное значение \(S,\) при котором Полина не может выиграть за один ход, но при любом ходе Полины Вероника может выиграть своим первым ходом.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения \(S,\) при котором у Полины есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
19
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Если количество камней в куче делится на целое \(k,\) то игрок может добавить в кучу \(k\) камней.
Например, если в куче \(6\) камней, то за один ход можно добавить \(1,\) \(2,\) \(3\) или \(6\) камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится более \(91.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(92\) или больше камней. В начале игры в куче было \(S\) камней, \(S < 92.\) Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть первым ходом, но при любом первом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани. В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантированно выиграть первым ходом.