19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два камня, или убрать из кучи пять камней, или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(18,\) \(15\) или \(6\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(49.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(49\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 50.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два камня, или убрать из кучи пять камней, или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(18,\) \(15\) или \(6\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(31.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(31\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 32.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи \(3\) камня;
• убрать из кучи \(5\) камней;
• уменьшить количество камней в куче в \(4\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(40\) камней за один ход можно получить кучу из \(37,\) \(35\) или \(10\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(76.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(76\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 77.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи \(3\) камня;
• убрать из кучи \(5\) камней;
• уменьшить количество камней в куче в \(4\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(40\) камней за один ход можно получить кучу из \(37,\) \(35\) или \(10\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(71.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(71\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 72.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи \(3\) камня;
• убрать из кучи \(5\) камней;
• уменьшить количество камней в куче в \(4\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(40\) камней за один ход можно получить кучу из \(37,\) \(35\) или \(10\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(65.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(65\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 66.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи \(3\) камня;
• убрать из кучи \(5\) камней;
• уменьшить количество камней в куче в \(4\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(40\) камней за один ход можно получить кучу из \(37,\) \(35\) или \(10\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(60.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(60\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 61.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.