19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней, или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее \(105.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, состоящую из \(105\) или более камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 104.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней, или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее \(205.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, состоящую из \(205\) или более камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 204.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее \(223.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, состоящую из \(223\) или более камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 222.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее \(202.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, состоящую из \(202\) или более камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 201.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите такое значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи три камня, или убрать из кучи семь камней, или уменьшить количество камней в куче в четыре раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(21\) камень за один ход можно получить кучу из \(18,\) \(14\) или \(5\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(34.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(34\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 35.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи три камня, или убрать из кучи семь камней, или уменьшить количество камней в куче в четыре раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(21\) камень за один ход можно получить кучу из \(18,\) \(14\) или \(5\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(21.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(21\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 22.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.