Плоскость \(\alpha\) проходит через середину ребра \(AD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) перпендикулярно прямой \(BD_1.\)

• а) Докажите, что угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между прямыми \(BB_1\) и \(B_1D.\)
• б) Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью \(ABC,\) если объём параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен \(210\sqrt{2},\) \(AB = 2\sqrt{6}\) и \(AD = 5.\)

Через вершину \(S\) прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках \(A\) и \(B.\) Высота конуса \(SO\) равна \(4 \sqrt{3},\) дуга \(AB\) равна \(90^\circ ,\) а хорда \(AB\) равна \(8.\)

• а) Докажите, что угол между плоскостью \(SAB\) и плоскостью основания конуса равен \(60^\circ .\)
• б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона \(AB\) основания равна \(5\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(\sqrt{5}.\) На рёбрах \(BC\) и \(C_1D_1\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(BK=C_1L=2.\) Плоскость \(\gamma\) параллельна прямой \(BD\) и содержит точки \(K\) и \(L.\)

• а) Докажите, что прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(\gamma .\)
• б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \(A_1,\) а основание — сечение данной призмы плоскостью \(\gamma .\)

В правильной треугольной призме \( ABCA_1 B_1 C_1 \) все рёбра равны \( 1 \).

а) Докажите, что прямая \( AB_1 \) параллельна прямой, проходящей через середины отрезков \( AC \) и \( BC_1 \).

б) Найдите косинус угла между прямыми \( AB_1 \) и \( BC_1 \).

Ребро \( SA \) пирамиды \( SABC \) перпендикулярно плоскости основания \( ABC .\)

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \( AB \), \( AC \) и \( SA \), отсекает от пирамиды \( SABC \) пирамиду, объём которой в \( 8 \) раз меньше объёма пирамиды \( SABC. \)

б) Найдите расстояние от вершины \( A \) до этой плоскости, если \( SA = 2 \sqrt{5} \), \( AB = AC = 10, \) \( BC = 4 \sqrt{5}. \)

В правильной четырёхугольной пирамиде \( SABCD \) с вершиной \( S \) сторона основания равна \( 8 \). Точка \( L \) – середина ребра \( SC \). Тангенс угла между прямыми \( BL \) и \( SA \) равен \( 2 \sqrt{\dfrac{2}{5}} \).

а) Пусть \( O \) – центр основания пирамиды. Докажите, что прямые \( BO \) и \( LO \) перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.