Ребро \(AB\) основания \(ABCD\) правильной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(2 \sqrt{6},\) а высота \(AA_1\) равна \(2 \sqrt{7} .\) На рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) отметили точки \(N\) и \(K\) соответственно так, что \(N\) — середина ребра, а \(C_1 K : K D_1 = 1 : 2.\) Через точки \(N\) и \(K\) параллельно прямой \(BD\) провели плоскость \(\alpha .\)

• а) Докажите, что прямая \(CA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha .\)
• б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке \(C\) и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью \(\alpha .\)

Ребро \(AB\) основания \(ABCD\) правильной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(2 \sqrt{6},\) а высота \(AA_1\) равна \(2 \sqrt{5} .\) На рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) отметили точки \(N\) и \(K\) соответственно так, что \(N\) — середина ребра, а \(C_1 K : KD_1 = 2 : 1.\) Через точки \(N\) и \(K\) параллельно прямой \(BD\) провели плоскость \(\alpha .\)

• а) Докажите, что прямая \(CA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha.\)
• б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке \(C\) и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью \(\alpha .\)

В пирамиде \(SABCD\) с высотой \(SA\) основанием является квадрат \(ABCD,\) точка \(K\) — середина ребра \(SB.\) Прямая \(DK\) пересекается с плоскостью \(SAB\) в точке \(N.\)

• а) Докажите, что прямая \(a,\) проходящая через точку \(N\) параллельно прямой \(SC,\) делит ребро \(SA\) в отношении \(1 : 2.\)
• б) Найдите угол между прямыми \(DK\) и \(SC,\) если \(AB = 2 \sqrt{2},\) \(SA = 3.\)

В пирамиде \(SABCD\) с высотой \(SA\) основанием является квадрат \(ABCD,\) точка \(K\) — середина ребра \(SB.\) Прямая \(DK\) пересекается с плоскостью \(SAB\) в точке \(N.\)

• а) Докажите, что прямая \(a,\) проходящая через точку \(N\) параллельно прямой \(SC,\) делит диагональ основания \(AC\) в отношении \(1 : 2.\)
• б) Найдите угол между прямыми \(DK\) и \(SC,\) если \(AB = 2 \sqrt{3},\) \(SA = 6.\)

На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 5 : 2.\) Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1.\)

• а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью \(ETD_1\) является трапецией.
• б) Найдите угол между плоскостью \(ETD_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1,\) если известно, что \(AB = 3 \sqrt{2},\) \(AD = 4, \) \(AA_1 = 14.\)

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на ребрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(AM = 5 MA_1,\) \(A_1K = KB_1.\) Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1A_1.\)

• а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1.\)
• б) Найди площадь сечения призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha,\) если все ребра призмы равны \(12.\)