Значение арифметического выражения $7^{170}+7^{100}-x,$ где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030,$ записали в $7$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x,$ при котором количество нулей в $7$-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Значение арифметического выражения $3^{100}-x,$ где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030,$ записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x,$ при котором количество нулей в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(Демо-2025) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $19$. $$98897x{21}_{19}+2x{923}_{19}$$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $19$-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно $18$. Для найденного $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $18$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Демо-2025) Значение арифметического выражения $$3\cdot {3125}^8+2\cdot {625}^7-4\cdot {625}^6+3\cdot {125}^5-5\cdot {25}^4-2025$$ записали в системе счисления с основанием $25$. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

(Демо-2025) Значение арифметического выражения $7^{170}+7^{100}-x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030$, записали в $7$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в $7$-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно $71$ нуль.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения $3^{10}+3^7+3^3+2-a$, где $a$ — натуральное число, записали в системе счисления с основанием $3.$ Определите минимальное значение $a,$ при котором в данной записи все троичные цифры встречаются одинаковое количество раз.