(Д. Бахтиев) Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на \(N\) непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких, что точки каждого подмножества находятся внутри прямоугольника со сторонами длиной \(H\) и \(W,\) причём прямоугольники не пересекаются между собой. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Будем называть центром кластера такую его точку, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна, а плотностью кластера — отношение числа звёзд в нём к площади прямоугольника (в у.е.), внутри которого этот кластер находится. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости \(A(x_1, \, y_1)\) и \(B(x_2, \, y_2)\) вычисляется по формуле: $$d(A, \, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.}$$ В файле A хранятся данные о звёздах трёх кластеров, где \(H = 4,\) \(W = 4\) для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной звезды: сначала координата \(x,\) затем координата \(y.\) Значения даны в условных единицах. Известно, что количество звёзд не превышает \(1000.\)

В файле B хранятся данные о звёздах пяти кластеров, где \(H = 4,\) \(W = 4\) для каждого кластера. Известно, что количество звёзд не превышает \(10~000.\) Структура хранения информации о звездах в файле В аналогична файлу A.

Для каждого файла определите \(P_s\) — среднее арифметическое плотности всех кластеров, а также \(S_p\) — расстояние между центрами кластеров с наибольшей и наименьшей плотностью.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть произведения \(P_s \cdot 1000,\) затем целую часть произведения \(S_p \cdot 1000\) для файла A, во второй строке — аналогичные данные для файла В.

Возможные данные одного из файлов иллюстрированы графиком.

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию.

Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

В лаборатории проводится эксперимент, состоящий из множества испытаний. Результат каждого испытания представляется в виде пары чисел. Для визуализации результатов эта пара рассматривается как координаты точки на плоскости, и на чертеже отмечаются точки, соответствующие всем испытаниям.

По результатам эксперимента проводится кластеризация полученных результатов: на плоскости выделяется несколько кластеров так, что каждая точка попадает ровно в один кластер, при этом ближайшие точки разных кластеров отстоят друг от друга не менее, чем на единичное расстояние.

В файле записан протокол проведения эксперимента. Каждая строка файла содержит два числа: координаты \(X\) и \(Y\) точки, соответствующей одному испытанию. По данному протоколу надо в каждом кластере определить экспериментальную точку, вокруг которой расположено максимальное количество других точек на расстоянии не более одной единицы. Если таких точек несколько, то выбирается точка с наибольшей координатой \(X.\) По данному протоколу надо определить минимальное расстояние между найденными экспериментальными точками двух различных кластеров.

Вам даны два входных файла (A и B), каждый из которых имеет описанную выше структуру. В ответе запишите два числа: сначала минимальное расстояние между двумя найденными точками для файла A, затем для файла B. В качестве значения указывайте целую часть от умножения найденного числового значения на \(10~000.\)

Океанограф проводит анализ множества островов по их расположению на карте. Каждый остров задаётся своими координатами \((x, \, y).\) Два острова считаются соседними, если расстояние между ними по формуле Евклида $$d(A, \, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}$$ строго меньше \(1\) условной единицы. При этом используется следующее определение архипелага и одиночного острова: острова принадлежат одному и тому же архипелагу, если между ними существует цепочка соседних островов (то есть, для любой пары островов \(A\) и \(B\) в архипелаге можно найти последовательность \(A = P_1, \, P_2, \, \ldots , \, P_k = B,\) где расстояние между соседними островами \(P_i\) и \(P_{i+1}\) меньше \(1).\) Архипелагом считается только такое объединение островов, в котором общее количество островов не менее \(20.\) Если какая-либо группа островов, связанная по вышеописанному принципу, содержит менее \(20\) островов, она не рассматривается как архипелаг, а все входящие в неё острова считаются одиночными и не учитываются в дальнейшем анализе.

Антицентроидом архипелага называется такой остров, принадлежащий архипелагу, для которого сумма расстояний до всех остальных островов этого архипелага максимальна. При условии, что одиночные острова при расчётах игнорируются, требуется определить координаты \(M_x\) и \(M_y\) антицентроида с наибольшей суммой расстояний до других островов своего архипелага.

Входные данные задаются в двух файлах: файл A и файл B. В каждой строке файлов содержатся координаты островов: сначала по оси \(x,\) затем по оси \(y.\) Количество островов не превышает \(1000\) для файла A и не превышает \(11~000\) для файла B.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке – целые части абсолютных значений произведений \(M_x \times 10~000\) и \(M_y \times 10~000\) для файла A. Во второй строке – целые части абсолютных значений произведений \(M_x \times 10~000\) и \(M_y \times 10~000\) для файла B.

Возможные данные одного из файлов иллюстрированы графиком.

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющий отношения к заданию. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемых файлов.

Учёный решил провести кластеризацию некоторого множества звёзд по их расположению на карте звёздного неба. Кластер звёзд – это набор звёзд(точек) на графике, лежащий внутри прямоугольника высотой \(H\) и шириной \(W\). Каждая звезда обязательно принадлежит только одному из кластеров.

Истинный центр кластера или центроид, – это одна из звёзд на графике, сумма расстояний от которой до всех остальных звёзд кластера минимальна. Под расстоянием понимается расстояние Евклида между двумя точками \(A \,(x_1, \, y_1)\) и \(B \, (x_2, \, y_2)\) на плоскости, которое вычисляется по формуле: $$ d(A, \, B) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$ В файле A хранятся данные о звёздах двух кластеров, где \(H=3\), \(W=3\) для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной звезды: сначала координата \(x\), затем координата \(y\). Значения даны в условных единицах. Известно, что количество звёзд не превышает \(1000.\)

В файле Б хранятся данные о звёздах трёх кластеров, где \(H=3\), \(W=3\) для каждого кластера. Известно, что количество звёзд не превышает \(10~000\). Структура хранения информации о звездах в файле Б аналогична файлу А.

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: \(P_x\) – среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и \(P_y\) – среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть произведения \(P_x \times 10~000\) , затем целую часть произведения \(P_y \times 10~000\) для файла А, во второй строке – аналогичные данные для файла Б.

Возможные данные одного из файлов иллюстрированы графиком.

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

(Д. Бахтиев) Компания «СвязьЛес» разрабатывает проект по обеспечению бесперебойной связи в двух труднодоступных лесных массивах. Для этого необходимо установить по одному мощному ретранслятору сигнала в каждом из районов, в местах, где их воздействие будет максимальным. Каждый район состоит из множества лесных участков, представленных в виде геопозиций — точек на плоскости (в декартовой системе координат). Известно, что участки можно разделить на группы лесных кварталов, при этом каждая геопозиция квартала удалена от всех точек других кварталов не менее чем на \(R\) условных единиц.

Компания «СвязьЛес» проводит анализ каждой группы (лесного квартала) и выбирает в ней антицентроид — такую геопозицию, сумма расстояний от которой до всех других точек этого квартала максимальна. После этого, опираясь на данные о расположении всех антицентроидов, выбирается финальная точка установки ретранслятора — такая геопозиция, сумма расстояний от которой до всех антицентроидов максимальна. Именно здесь устанавливается ретранслятор.

Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле Евклида: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.\)

В файле А хранятся данные обо всех геопозициях первого района. В первой строке записано значение \(R\) для этого района. В каждой из следующих строк записана информация о расположении в районе одной геопозиции: сначала координата \(x,\) затем координата \(y.\) Значения даны в условных единицах, которые представлены вещественными числами. Известно, что количество геопозиций не превышает \(2000.\) В файле Б хранятся данные обо всех геопозициях второго района. В первой строке записано значение \(R\) для этого района. Известно, что количество геопозиций не превышает \(10~000.\) Структура хранения информации в файле Б аналогична файлу А.

Для каждого файла выведите координаты точки установки ретранслятора. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть модуля произведения координаты \(x\) этой геопозиции на \(10000,\) затем целую часть модуля произведения координаты \(y\) этой геопозиции на \(10000\) для файла А, во второй строке — аналогичные данные для файла Б.

Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на \(N\) непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной \(H\) и \(W,\) причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости \(A(x_1, \, y_1)\) и \(B(x_2, \, y_2)\) вычисляется по формуле: $$d(A, \, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

В файле А хранятся координаты точек двух кластеров, где \(H = 6, \, W = 6\) для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной точки: сначала координата \(x,\) затем координата \(y.\) Известно, что количество точек не превышает \(1000.\)

В файле Б хранятся координаты точек трёх кластеров, где \(H = 5, \, W = 5\) для каждого кластера. Известно, что количество точек не превышает \(10~000.\) Структура хранения информации в файле Б аналогична файлу А.

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: \(P_x\) — среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и \(P_y\) — среднее арифметическое ординат центров кластеров. В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала абсолютное значение целой части произведения \(P_x \times 10~000,\) затем абсолютное значение целой части произведения \(P_y \times 10~000\) для файла А, во второй строке — аналогичные данные для файла Б.