На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [117; \, 158]\) и \(Q = [130; \, 180].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A,\) для которого логическое выражение $$\neg ((x \in P) \to ((\neg (x \in A) \land (x \in Q)) \to \neg (x \in P)))$$ ложно (т.е. принимает значение \(0\)) при любом значении переменной \(x.\)

Обозначим через \(m\&n\) поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел \(m\) и \(n.\) Например, \(14 \& 5 = 1110_2 \& 0101_2 = 0100_2 = 4.\) Для какого наименьшего неотрицательного целого числа \(А\) формула $$(x \& 5160 > 0 \lor x \& 3650 > 0) \to (x \& 9545 = 0 \to x \& А > 0)$$ тождественно истинна (т. е. принимает значение \(1\) при любом неотрицательном целом значении переменной \(x\))?

На числовой прямой даны три отрезка: \(P = [153697; \, 780411],\) \(Q = [275071; \, 904082],\) \(R = [722050; \, 984086].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A,\) для которого логическое выражение $$(\neg (x \in A)) \to (((x \in P) \equiv (x \in Q)) \to ((x \in R) \equiv (x \in Q)))$$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом значении переменной \(x.\)

На числовой прямой даны три отрезка: \(P = [3; \, 43],\) \(Q = [18; \, 91],\) \(R = [72; \, 115].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A,\) для которого логическое выражение $$ (x \in Q) \to (\neg (x \in P) \to ((\neg (x \in R) \land \neg (x \in A)) \to \neg (x \in Q))) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом значении переменной \(x\).

(Л. Шастин) Обозначим через \(mod (m, \, n)\) остаток от деления \(m\) на \(n.\) Для какого наименьшего натурального числа \(A\) значение выражения $$(A + 2x > 400 - A) \land (mod (A, \, 100) + mod(120, \, A) > 140)$$ тождественно истинно, т.е. принимает значение \(1\) при любом натуральном значении переменной \(x\)?

(Л. Шастин) Обозначим через ДЕЛ(\(n\), \(m\)) утверждение «натуральное число \(n\) делится без остатка на \(m\)»; и пусть на числовой прямой дан отрезок \(B = [170; \, 220].\)

Определите количество натуральных значений числа \(A\), при которых формула $$ ДЕЛ(x, \, A) \lor ((x \in B) \to \neg ДЕЛ(x, \, 24)) $$ тождественно истинна (т.е. принимает значение \(1\)) при любых значениях \(x.\)