(Д. Бахтиев) Обозначим через ЦИФ(\(x, \, y\)) утверждение «натуральное число \(x\) оканчивается на ту же цифру, что и натуральное число \(y\)». Для какого наибольшего натурального числа \(A\) логическое выражение $$ (\neg ЦИФ(x, \, 5) \land ЦИФ( x, \, 4)) \to (x > A - 11) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом натуральном значении переменной \(x\)?

(Л. Шастин) Обозначим через \(m \, \& \, n\) поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел \(m\) и \(n\). Так, например, \(14 \, \& \, 5 = 1110_2 \, \& \, 0101_2 = 0100_2 = 4\). Для какого наименьшего натурального числа \(A\) формула $$ x \, \& \, 57 = 0 \, \lor \, (x \, \& \, 23 = 0 \to \neg (x \, \& \, A = 0)) $$ истинна при всех натуральных значениях переменной \(x\)?

(ЕГЭ-2024) Для какого наибольшего целого неотрицательного числа \(A\) логическое выражение $$ (x + y \leqslant 30 ) \lor ( y \leqslant x + 2) \lor ( y \geqslant A ) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любых целых положительных \(x\) и \(y\)?

Обозначим через ДЕЛ\((n, m)\) утверждение «натуральное число \(n\) делится без остатка на натуральное число \(m\)».
Для какого наибольшего натурального числа \(A\) логическое выражение $$ (ДЕЛ(x, \, 33) \to ( \neg ДЕЛ(x, \, A)) \to \not ДЕЛ(x, \, 242) ) $$ тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом целом положительном значении переменной \(x\)?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа \(A\) логическое выражение $$ (x + y \leqslant 24 ) \lor ( y \leqslant x - 2) \lor ( y \geqslant A ) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любых целых положительных \(x\) и \(y\)?

Обозначим через ДЕЛ\((n, m)\) утверждение «натуральное число \(n\) делится без остатка на натуральное число \(m\)».
Для какого наименьшего натурального числа \(A\) формула $$ (ДЕЛ(x, \, 13) \to \neg ДЕЛ(x, \, 21)) \lor (x + A \geqslant 500 ) $$ тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной \(x\)?