На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [15; \, 40]\) и \(Q = [21; \, 63].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), для которого логическое выражение $$ (x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg (x \in A)) \to \neg (x \in P)) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом значении переменной \(x\).

На числовой прямой даны три отрезка: \(P = [3; \, 43],\) \(Q = [18; \, 91],\) \(R = [72; \, 115].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A,\) для которого логическое выражение $$ (x \in Q) \to (\neg (x \in P) \to ((\neg (x \in R) \land \neg (x \in A)) \to \neg (x \in Q))) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом значении переменной \(x\).

(Д. Бахтиев) Обозначим через ЦИФ(\(x, \, y\)) утверждение «натуральное число \(x\) оканчивается на ту же цифру, что и натуральное число \(y\)». Для какого наибольшего натурального числа \(A\) логическое выражение $$ (\neg ЦИФ(x, \, 5) \land ЦИФ( x, \, 4)) \to (x > A - 11) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом натуральном значении переменной \(x\)?

(Л. Шастин) Обозначим через \(m \, \& \, n\) поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел \(m\) и \(n\). Так, например, \(14 \, \& \, 5 = 1110_2 \, \& \, 0101_2 = 0100_2 = 4\). Для какого наименьшего натурального числа \(A\) формула $$ x \, \& \, 57 = 0 \, \lor \, (x \, \& \, 23 = 0 \to \neg (x \, \& \, A = 0)) $$ истинна при всех натуральных значениях переменной \(x\)?

(ЕГЭ-2024) Для какого наибольшего целого неотрицательного числа \(A\) логическое выражение $$ (x + y \leqslant 30 ) \lor ( y \leqslant x + 2) \lor ( y \geqslant A ) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любых целых положительных \(x\) и \(y\)?