19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может выполнить любое из следующих трёх действий:

1. убрать из кучи один камень;
2. если количество камней в куче кратно трём, уменьшить его в три раза, в противном случае убрать из кучи два камня;
3. если количество камней в куче кратно пяти, уменьшить его в пять раз, в противном случае убрать из кучи три камня.

Например, если в куче \(12\) камней, то за один ход можно получить \(11\), \(4\) или \(9\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(19\). Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(19\) или меньше камней.

В начале игры в куче было \(S\) камней, \(S > 19.\)

Укажите минимальное значение \(S\), при котором Петя не может выиграть первым ходом, но при любом первом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани. В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в кучу \(3\) камня;
• добавить в кучу \(8\) камней;
• увеличить количество камней в куче в \(2\) раза.

Например, из кучи в \(10\) камней за один ход можно получить кучу из \(13, \,18\) или \(20\) камней. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(333.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из \(333\) или более камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 332.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений \(S,\) в ответе запишите наибольшее из них.

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из обеих куч три камня или уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на \(1\) камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче \(10,\) а в другой \(15\) камней; такую позицию мы будем обозначать \((10, \, 15).\) За один ход из позиции \((10, \, 15)\) можно получить любую из трёх позиций: \((7, \, 12),\) \((5, \, 15),\) и \((10, \, 7).\) Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более \(100.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет \(100\) или меньше камней. В начальный момент в первой куче было \(48\) камней, во второй куче — \(S\) камней, \(S > 52.\)

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения \(S,\) при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня, увеличить количество камней в куче в три раза или добавить в кучу возведённое в квадрат количество камней в ней. Например, пусть в куче \(10\) камней, тогда игрок после своего хода может получить кучу из \(13\) камней, \(30\) камней или \(110\) камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более \(665.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет \(666\) или больше камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S < 666.\)

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения \(S,\) при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый делает Петя. За один ход может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего). Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(17\), \(15\) или \(7\) камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(33.\)

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(33\) или меньше камней. В начальный момент времени в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 34.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. При каких значениях \(S\) Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом? В ответе укажите одно число — количество таких значений.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S\), при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S\), при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу \(2\) или \(3\) камня, либо увеличить количество камней в куче в \(3\) раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится менее \(313\). Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из \(313\) или более камней.

В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 312\).

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите сумму таких значений \(S\), при которых Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S\), при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите сумму таких значений \(S\), при которых одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.