19

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(39.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из \(39\) камней или больше. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 38.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

20

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(58.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из \(58\) камней или больше. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 57.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(65.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче – \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 58.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из \(10\) камней, за один ход можно получить кучу из \(11\) или \(20\) камней. Для того чтобы делать ходы, у игроков есть только \(80\) камней, включая те, которые находятся в куче в начальный момент. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(61.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 60.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите количество значений \(S,\) при которых Петя может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами \((x, \, y)\) в одну из трех точек: \((x-10, \, y+5),\) \((x-5, \, y-5),\) \((x+5, y-5).\) Например, при если фишка стоит в позиции \((10, \,5),\) то за один ход можно получить любую из трёх позиций: \((0, \,10),\) \((5, \, 0),\) \((15, \, 0).\) Игра завершается в тот момент, когда расстояние от фишки до точки с координатами \((0, \, 0)\) становится больше \(20\) единиц. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший позицию, от которой расстояние до точки с координатами \((0, \, 0)\) больше \(20\) единиц. В начальный момент фишка находится в позиции \((-1, \, S),\) где \(S\) — целое число. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите количество всех возможных \(S,\) при которых игра имеет смысл, т. е. для которых расстояние от начальной позиции до точки с координатами \((0, \, 0)\) не больше \(20.\)

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два числа: первое – количество значения \(S,\) при которых Петя выигрывает первым ходом; и второе число – количество значений \(S\) при которых, у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, в которую записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить одно из чисел пары (по своему выбору) на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция \((2, \, 20),\) то после его хода будет позиция \((22, \,20)\) или \((2, \, 22).\) Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары станет не менее \(62.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в сумму чисел пары \(62\) и более. В начальный момент в табличке записана пара чисел \((10, \, S),\) \(1 \leqslant S \leqslant 51.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение \(S,\) при котором Петя может выиграть за один ход.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наибольших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений \(S,\) при которых одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.