19

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч три камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на \(1\) камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче \(6,\) а в другой \(9\) камней; такую позицию мы будем обозначать \((6, \, 9).\) За один ход из позиции \((6, \, 9)\) можно получить любую из трёх позиций: \((3, \, 9),\) \((6, \, 6),\) и \((6, \, 5).\) Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более \(72.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет \(72\) или меньше камней. В начальный момент в первой куче было \(50\) камней, во второй куче — \(S\) камней; \(S > 22.\)

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения \(S,\) при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(77.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается \(77\) или больше камней.

В начальный момент в первой куче было \(12\) камней, во второй куче — \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 64.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите значения \(S,\) при которых одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

В ответе укажите количество таких значений.

19

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в два раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(17,\) \(15\) или \(10\) камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(17.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(17\) или меньше камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 18.\) Будем гворить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее \(54.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из \(54\) или больше камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 53.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход:
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений \(S,\) в ответе запишите наименьшее из них.

19

(И. Баженов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. У каждого игрока есть 4 варианта хода: 1) добавить четыре камня в первую кучу; 2) добавить три камня во вторую кучу; 3) увеличить в \(2\) раза количество камней в первой куче; 4) увеличить в \(3\) раза количество камней во второй куче. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(178.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший суммарно в двух кучах \(178\) или больше камней. В начальный момент в первой куче был \(21\) камень, во второй куче было \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 156.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите сумму всех значений \(S,\) при которых Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите произведение всех значений \(S,\) при которых одновременно выполняются два условия:

• у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым, вторым или третьим ходом при любой игре Вани;
• у Пети нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

19

(ЕГЭ-2024) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(227.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается \(227\) или больше камней. В начальный момент в первой куче было \(17\) камней, во второй куче – \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 209.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.