(Л. Шастин) Обозначим через ДЕЛ(\(n\), \(m\)) утверждение «натуральное число \(n\) делится без остатка на \(m\)»; и пусть на числовой прямой дан отрезок \(B = [60; \, 80].\)

Для какого наибольшего натурального числа \(A\) логическое выражение $$ ДЕЛ(x, \, A) \lor ((x \in B) \to \neg ДЕЛ(x, \, 22)) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любых значениях \(x.\)

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [17;\, 58]\) и \(Q = [29; \, 80].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A,\) для которого логическое выражение $$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg (x \in A)) \to \neg (x \in P))$$ истинно (т.е. принимает значение \(1)\) при любом значении переменной \(x.\)

На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [15; \, 40]\) и \(Q = [21; \, 63].\) Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), для которого логическое выражение $$ (x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg (x \in A)) \to \neg (x \in P)) $$ истинно (т.е. принимает значение \(1\)) при любом значении переменной \(x\).

(Д. Бахтиев) Обозначим через \(m \& n\) поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел \(m\) и \(n.\) Так, например, \(14 \& 5 = 1110_2 \& 0101_2 = 0100_2 = 4.\) Найдите минимальное натуральное значение \(A,\) при котором значение выражения $$(x \& A = 0) \to ((x \& 77 = 0) \land (x \& 44 = 0))$$ тождественно истинно, то есть принимает значение \(1\) при любом натуральном значении \(x.\)

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа \(A\) выражение $$(x - 3y < A) \lor (y > 400) \lor (x > 56)$$ тождественно истинно, т.е. принимает значение \(1\) при любых целых положительных \(x\) и \(y?\)

Обозначим через \(m\&n\) поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел \(m\) и \(n.\) Например, \(14 \& 5 = 1110_2 \& 0101_2 = 0100_2 = 4.\) Для какого наименьшего неотрицательного целого числа \(А\) формула $$(x \& 5160 > 0 \lor x \& 3650 > 0) \to (x \& 9545 = 0 \to x \& А > 0)$$ тождественно истинна (т. е. принимает значение \(1\) при любом неотрицательном целом значении переменной \(x\))?