(П. Финкель) Алгоритм получает на вход пятизначное натуральное число \(N\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится восьмеричная запись числа \(N.\)
2. Все нечётные цифры записи заменяются на \(2.\)
3. К строке приписывается остаток от деления числа \(N\) на \(8.\)
4. Число переводится в десятичную систему счисления.
5. Затем действия 1-4 повторяются ещё один раз.

Укажите сумму таких \(N,\) при которых число, полученное в результате работы алгоритма, кратно \(2023.\)

(П. Финкель) Алгоритм получает на вход четырёхзначное натуральное число \(N\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится восьмеричная запись числа \(N.\)
2. Все чётные цифры записи заменяются на \(1.\)
3. К строке приписывается остаток от деления числа \(N\) на \(8.\)
4. Число переводится в десятичную систему счисления.
5. Затем действия 1-4 повторяются ещё один раз.

Укажите наибольшее число, кратное \(234,\) которое может быть получено в результате работы алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(А. Минак) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N > 10\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится восьмеричная запись числа \(N.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) если число \(N\) делится на \(5,\) то к этой записи дописываются три первые цифры его восьмеричной записи;
   • б) если число \(N\) на \(5\) не делится, то остаток от деления на \(5\) переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
3. Полученная таким образом запись является восьмеричной записью искомого числа \(R.\)

Укажите минимальное число \(N,\) после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число \(R,\) не меньшее, чем \(35000.\) В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Н. Сафронов) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N > 10\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится троичная запись числа \(N.\)
2. К этой записи дописываются разряды по следующему правилу. Если количество четных цифр в полученной записи больше чем нечетных, слева дописывается \(22,\) иначе \(11.\)
3. Полученная таким образом запись является троичной записью искомого числа \(R.\)

Например, для числа \(18\) троичная запись \(200_3\) преобразуется в запись \(22200_3 = 234,\) для числа \(22\) троичная запись \(211_3\) преобразуется в \(11211_3 = 130.\)

Укажите минимальное значение \(R,\) больше чем \(100,\) которое может получится в результате работы алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Н. Сафронов) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится троичная запись числа \(N.\)
2. К этой записи дописываются разряды по следующему правилу. Если сумма троичных разрядов кратна \(3,\) слева дописывается \(20,\) иначе слева дописывается \(10.\)
3. Полученная таким образом запись является троичной записью искомого числа \(R.\)

Например, для числа \(10\) троичная запись \(101_3\) преобразуется в запись \(10101_3 = 91,\) для числа \(11\) троичная запись \(102_3\) преобразуется в \(20102_3 = 173.\)

Укажите максимальное значение \(N,\) после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число \(R,\) меньшее чем \(100.\)

(К. Багдасарян) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N > 14\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится запись числа \(N\) в системе счисления с основанием \(15.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) если число \(N\) делится на \(15,\) то в конец дописываются первые две цифры пятнадцатеричной записи числа;
   • б) если число \(N\) на \(15\) не делится, то остаток от его деления на \(15\) умножается на \(13,\) переводится в систему счисления с основанием \(15\) и дописывается в конец числа.
   Полученная таким образом запись является пятнадцатеричной записью искомого числа \(R.\)

Укажите минимальное число \(R,\) большее \(700,\) которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.