(К. Багдасарян) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N > 11\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится запись числа \(N\) в системе счисления с основанием \(12.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) если число \(N\) делится на \(12,\) то в конец дописываются две последние цифры двенадцатеричной записи числа;
   • б) если число \(N\) на \(12\) не делится, то остаток от его деления на \(12\) умножается на \(9,\) переводится в систему счисления с основанием \(12\) и дописывается в конец числа.
   Полученная таким образом запись является двенадцатеричной записью искомого числа \(R.\)

Укажите минимальное число \(R,\) большее \(300,\) которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(К. Багдасарян) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N > 4\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится пятеричная запись числа \(N.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) если число \(N\) делится на \(5,\) то в конец дописываются две последние цифры пятеричной записи числа;
   • б) если число \(N\) на \(5\) не делится, то остаток от его деления на \(5\) умножается на \(7,\) переводится в пятеричную запись и дописывается в конец числа.
   Полученная таким образом запись является пятеричной записью искомого числа \(R.\)

Укажите минимальное число \(R,\) большее \(200,\) которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(С. Якунин) На вход алгоритму подаётся четырёхзначное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится число \(K\) из цифр числа \(N,\) расположенных в порядке невозрастания.
2. Строится число \(M\) из цифр числа \(N,\) расположенных в порядке неубывания.
3. Число \(R\) вычисляется как разность \(K – M.\)

Найдите минимальное число \(N,\) для которого число \(R,\) полученное в результате работы алгоритма, равно \(6174\) (постоянной Капрекана), и при этом число \(K\) максимально возможное.

*(В. Шубинкин) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится запись числа \(N\) в системе счисления с основанием \(45.\)
2. Цифры числа нумеруются слева направо, начиная с единицы. Отдельно складываются цифры, стоящие на чётных местах, и цифры, стоящие на нечётных местах.
3. Запись меньшей из сумм в системе счисления с основанием \(45\) приписывается в начало числа, запись большей из сумм в системе счисления с основанием \(45\) – в конец. В случае появления ведущего нуля, он игнорируется.

Результат переводится в десятичную систему счисления.

Пример. Алгоритм получает число \(N = 95_{10} = 25_{45}.\) Цифра \(2\) стоит на позиции № 1, цифра \(5\) – на позиции № 2. Сумма цифр на чётных местах равна \(5_{45},\) сумма цифр на нечётных местах равна \(2_{45}.\) Приписывая цифры, получаем число \(2255_{45} = 186530_{10}.\)

Какое наименьшее число может получиться в результате работы алгоритма при вводе \(N > 1000?\) В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

*(В. Шубинкин) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Строится запись числа \(N\) в системе счисления с основанием \(80.\)
2. Отдельно складываются чётные и нечётные цифры числа. Если чётных или нечётных чисел нет, сумма считается равной нулю.
3. У большей из сумм определяется последняя цифра в системе счисления с основанием \(80.\) Эта цифра приписывается в конец восьмидесятеричной записи числа \(N.\)
4. Пункты 2 и 3 повторяются ещё один раз.

Результат переводится в десятичную систему счисления.

Пример. Алгоритм получает число \(N = 83_{10} = 13_{80}.\) Сумма чётных цифр принимается равной нулю (их нет в записи числа), сумма нечётных цифр равна \(4 > 0.\) Число \(4_{10} = 4_{80}\) – заканчивается на цифру \(4\) в системе счисления с основанием \(80;\) приписываем её к \(13_{80},\) получаем \(134_{80}.\) Теперь обе суммы равны \(4,\) поэтому в конец приписывается ещё одна цифра \(4,\) получаем \(1344_{80} = 531524_{10}.\)

Определите наименьшее число \(N,\) при котором результат работы алгоритма \(R\) будет больше \(1000000_{10}.\) В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Б. Михлин) Алгоритм получает на вход натуральное число \(N\) и строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Если число \(N\) четное, то оно делится на \(2,\) иначе из него вычитается \(1.\)
2. Если полученное на предыдущем шаге число кратно \(6,\) то оно делится на \(6,\) иначе из него вычитается \(1.\)
3. Если полученное на предыдущем шаге число кратно \(15,\) то оно делится на \(15,\) иначе из него вычитается \(1.\) Это число считается результатом работы алгоритма \(R.\)

Найдите минимальное число \(N,\) шестнадцатеричная запись которого содержит цифру \(C,\) а соответствующее число \(R\) равно \(523.\)