(Н. Леко) Автомат обрабатывает десятичное целое число \(N\) (\(0 \leqslant N \leqslant 255\)) по следующему алгоритму:

1. Строится восьмибитная двоичная запись числа \(N\).
2. Все разряды двоичной записи инвертируются (\(0\) заменяется на \(1\), \(1\) на \(0\)).
3. Если полученное число кратно \(5\), то в двоичной записи старшие три разряда заменяются на \(100\), в противном случае в двоичной записи старшие три разряда заменяются на \(101\).

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа \(R\). Сколько существует чисел \(N\), из которых в результате выполнения алгоритма может получиться число \(180\)?

(PRO100-ЕГЭ) На вход алгоритма подаётся натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом.

1. Строится троичная запись числа \(N.\)
2. К этой записи дописываются справа ещё несколько разрядов по следующему правилу:
   1. если \(N\) чётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица;
   2. если \(N\) нечётное, то к нему справа приписывается в троичном виде сумма цифр его троичной записи.

Полученная таким образом запись (в ней как минимум на один разряд больше, чем в записи исходного числа \(N\)) является троичной записью искомого числа \(R.\)

Например, исходное число \(4_{10} = 11_3\) преобразуется в число \(11100_3 = 117_{10}\), а исходное число \(7_{10} = 21_3\) преобразуется в число \(2110_3 = 66_{10}\).

Укажите такое наименьшее число \(N,\) для которого число \(R\) больше числа \(168.\) В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(PRO100-ЕГЭ) На вход алгоритма подаётся натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом.

1. Строится шестеричная запись числа \(N.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   1. если число \(N\) делится на \(3,\) то к этой записи дописываются две первые шестеричные цифры;
   2. если число \(N\) на \(3\) не делится, то остаток от деления на \(3\) умножается на \(10,\) переводится в шестеричную запись и дописывается в конец числа.

Полученная таким образом запись является шестеричной записью искомого числа \(R.\)

Пример. Число \(11_{10} = 15_6\) не делится на \(3,\) поэтому в конец его шестеричной записи \(15_6\) дописывается шестеричная запись числа \((11 \mod 6) \cdot 10 = 20 = 32_6\), так что результатом работы автомата является число \(1532_6 = 416_{10}\). Исходное число \(12_{10} = 20_6\) делится на \(3,\) поэтому в конец шестеричной записи \(20_6\) дописываются её две первых цифры \(20,\) так что результатом работы автомата является число \(2020_6 = 444_{10}\).

Укажите минимальное число \(R,\) большее \(680,\) которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Е. Джобс) Автомат обрабатывает натуральное девятиразрядное число \(N\) по следующему алгоритму:

1. Находится сумма разрядов числа \(N.\)
2. Полученное число переводится в двоичную систему счисления.
3. К записи, полученной на предыдущем этапе, дописываются разряды по следующему правилу:
   1. Если количество единиц четное дописывается единица слева и два нуля справа,
   2. Если количество единиц нечетное дописывается \(10\) слева и \(1\) справа.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа \(R.\)

Пример. Дано число \(N = 123456789.\) Алгоритм работает следующим образом:

1. Сумма разрядов \(45.\)
2. Двоичная запись \(101101.\)
3. Единиц четное количество, следовательно, получаем \(1+101101+00 = 110110100.\)
4. \(110110100_2 = 436.\)

Сколько существует чисел \(N,\) для которых результат работы автомата равен \(21?\)

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа \(N.\)
2. В этой записи последний ноль заменяется на первые две цифры полученной записи. Если нуля нет, алгоритм аварийно завершается.
3. Запись записывается справа налево (в обратную сторону).

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа \(R.\) Для какого минимального значения \(N\) в результате работы алгоритма получится число \(123?\)

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа \(N.\)
2. К полученной записи дописываются разряды. Если в числе четное количество единиц, слева дописывается \(1\) справа два нуля, если нечетное – слева две единицы.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа \(R.\)

Пример. Дано число \(N = 13.\) Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа \(N:\) \(1101.\)

2. Число нечетное, следовательно, слева дописываем две единицы – \(11 + 1101 = 111101.\)
3. На экран выводится число \(111101_2 = 61.\)

В результате работы автомата на экране появилось число, не меньшее \(412.\) Для какого наименьшего значения \(N\) данная ситуация возможна?