На вход алгоритма подаётся натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа \(N.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) если число чётное, то к двоичной записи числа слева дописывается \(10;\)
   • б) если число нечётное, то к двоичной записи числа слева дописывается \(1\) и справа дописывается \(01.\)

Полученная таким образом запись (в ней на два или три разряда больше, чем в записи исходного числа \(N)\) является двоичной записью искомого числа \(R.\) Например, для исходного числа \(4 = 100_2\) результатом является число \(20 = 10100_2,\) а для исходного числа \(5 = 101_2\) это число \(53 = 110101_2.\) Укажите максимальное число \(R,\) которое может быть результатом работы данного алгоритма, при условии, что \(N\) не больше \(1234567.\) В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) На вход алгоритма подается целое неотрицательное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) по следующим образом:

1. Число \(N\) переводится в систему счисления с основанием \(30.\)
2. Вычисляет сумма значений цифр данного числа в \(30\)-ричной системе счисления.
3. Число \(R\) определяется как полученная сумма, умноженная на значение последней десятичной цифры числа \(N.\)

Найдите количество чисел \(N,\) меньших \(10^7,\) для которых соответствующее значение \(R\) — не простое число.

(О. Лысенков) На вход алгоритма подается целое неотрицательное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) по следующим образом:

1. Число \(N\) переводится в систему счисления с основанием \(30.\)
2. Вычисляет сумма значений цифр данного числа в \(30\)-ричной системе счисления.
3. Число \(R\) определяется как полученная сумма, умноженная на значение последней десятичной цифры числа \(N.\)

Найдите количество чисел \(N,\) меньших \(1000,\) для которых соответствующее значение \(R\) — не простое число.

*(П. Финкель) На вход алгоритма подаётся шестизначное натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Число \(N\) переводится в систему счисления с основанием \(19.\)
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) согласные буквы \((B, \, C, \, D, \, F, \, G, \, H)\) заменяются на \(5;\)
   • б) в начало полученной записи дописывается остаток от деления числа \(N\) на \(19\) в \(19\)-ричной системе счисления;
   • в) две последние цифры записи переставляются в начало (например, из строки \(12345\) получается \(45123).\)
3. Действия а)-в) в п. 2. повторяются еще раз.

Полученная таким образом запись является записью искомого числа \(R\) в системе счисления с основанием \(19.\) Укажите максимальное число \(R\) с суммой цифр, кратной \(7,\) которое может быть получено в результате работы алгоритма. Запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

*(П. Финкель) На вход алгоритма подаётся пятизначное натуральное число \(N.\) Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом:

1. Число \(N\) переводится в двадцатеричную систему счисления.
2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
   • а) гласные буквы \((A, \, E, \, I)\) заменяются на \(1;\)
   • б) в конец полученной записи дописывается остаток от деления числа \(N\) на \(20\) в двадцатеричной системе счисления;
   • в) первая цифра переставляется в конец записи.
3. Действия а)-в) в п. 2. повторяются еще раз.

Полученная таким образом запись является записью искомого числа \(R\) в двадцатеричной системе счисления. Укажите максимальное число \(R,\) кратное \(2030,\) которое может быть получено в результате работы алгоритма. Запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

*(Н. Сафронов) На вход алгоритма подаётся натуральное четырехзначное число \(N,\) в десятичной записи которого есть как чётные, так и нечётные цифры (к другим числам алгоритм неприменим). Алгоритм строит по нему новое число \(R\) следующим образом:

1. Если в числе \(N\) четных чисел больше, то вычисляется сумма всех четных цифр числа \(N,\) иначе вычисляется сумма всех нечетных цифр числа \(N.\)
2. Если на предыдущем шаге получилось четное число, то к нему справа приписывается максимальная четная цифра числа \(N,\) иначе слева приписывается минимальная нечетная цифра числа \(N.\)

Сколько существует чисел \(N,\) для которых результат работы автомата \(R\) равен \(111?\)